La segunda ley de Kepler

Ya saben, esa ley que dice algo así como:

Los planetas se mueven de manera tal que, si trazamos una línea recta desde el Sol hasta el planeta, esta línea barrerá áreas iguales en tiempos iguales.

PARTE I

ASTRONOMIA NOVA (1609) – JOHANNES KEPLER

Según se indica en la mayoría de los libros de texto, Kepler da cuenta de esta ley en el capítulo XXXII de su obra “Astronomia Nova”.

Astronomia Nova - Capítulo XXXII
Astronomia Nova - Capítulo XXXII

Astronomia Nova - Capítulo XXXII (cont.)
Astronomia Nova - Capítulo XXXII (cont.)

Aunque las imágenes anteriores [Ref. 1] muestran un par de páginas de dicho capítulo, ya pueden imaginarse que Kepler NO expresó la segunda ley en la forma en que estamos habituados a escucharla.

En realidad, lo que puede leerse es esto:

“…celeritatem in perihelio & tarditatem in aphelio proportionari quam proxime lineis ex centro mundi eductis in planetam”.

Cuya traducción viene a decir más o menos lo siguiente [Ref. 2]:

“La rapidez en el perihelio y la lentitud en el afelio guardan una relación de proporción aproximadamente como las líneas trazadas desde el centro del mundo hasta el planeta”.

El resto del capítulo lo dedica Kepler a realizar una serie de construcciones geométricas para justificar dicha afirmación.

Una de las obsesiones de Kepler era encontrar el modo de poder calcular el tiempo que tarda un planeta en recorrer un arco de su órbita.

Para ello tuvo una feliz ocurrencia: expresar dicho tiempo en función del ÁREA.

Procedió de este modo [Ref. 3]:

  1. Supuso que el tiempo que el planeta tarda en recorrer un pequeñísimo arco de su órbita es proporcional al radio vector (i.e. a la línea que une el Sol con el planeta).
  2. Luego consideró que, como un arco de órbita estaba constituido por todos sus puntos, entonces el tiempo que tarda el planeta en recorrer cualquier arco es proporcional a la suma de todos los radios vectores de dicho arco.
  3. Finalmente, concluyó que la suma de los radios vectores es el área del sector (es decir, el área “barrida” por el planeta en su movimiento).

Sumando lo dicho en los tres puntos anteriores es como Kepler dedujo la segunda ley.

Él mismo cuenta que esta idea le vino a la cabeza al recordar cómo Arquímedes dividió el círculo en un número infinito de triángulos para calcular la relación entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro, es decir, π  [Ref. 4].

Lo divertido del caso es que los puntos 1. y 3. son FALSOS.

Lo que ocurre es que la fortuna sonrió a Kepler ya que al tomar las tres premisas anteriores en su conjunto, los errores se cancelan y la conclusión es VERDADERA.

La figura que se muestra en el Capítulo XXXII no es la más adecuada para ilustrar el significado de la segunda ley, así que aquí les dejo un gráfico más didáctico.

Ley de las Áreas
Ley de las Áreas

El punto clave de esta figura es que las dos ÁREAS indicadas (A1 y A2) son IGUALES.

Lo que significa que para un mismo período de tiempo (e.g. un mes) el planeta recorre una distancia mayor cuanto más cerca está del sol.

O dicho de otro modo, el planeta tiene que moverse a mayor velocidad conforme se aproxima al sol.

En resumen: las áreas son proporcionales a los tiempos.

Aquellos que son lo suficientemente curiosos se estarán preguntando: ¿por qué en la figura anterior se nos muestra a MARTE girando alrededor del sol en lugar de la TIERRA?

Pues para hacer hincapié en que los descubrimientos de Kepler están basados principalmente en los cálculos que se conocían de la órbita de Marte.

Tampoco hay que olvidar que otra de las grandes ocurrencias de Kepler fue la de calcular cómo sería la órbita de la Tierra tal y como la vería un astrónomo en Marte. [Ref. 4]

Además, como pueden comprobar, la palabra MARTE tiene cierta relevancia en el título de la obra: “de motibus stellae Martis” (relativo al movimiento de la estrella Marte).

Astronomia Nova - Portada
Astronomia Nova - Portada

Hasta aquí, supongo que todo ha quedado claro: Kepler fue capaz de modelar el movimiento de los planetas en sus órbitas a partir de los datos EXPERIMENTALES.

Pero, ¿qué es lo que se esconde detrás de todo ello? ¿Por qué esto es ASÍ?

PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA (1687) – ISAAC NEWTON

Pasado el tiempo, Newton publica su archiconocida “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”.

Libro I, Sección II, Proposición I

La Cambridge Digital Library ha digitalizado la copia que el propio Newton tenía de su primera edición. Está disponible aquí [Ref. 5].

Es imposible que pueda decir nada nuevo sobre esta obra, así que les llevo directamente al Libro I, Sección II, Proposición I, en donde podemos leer:

“Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse temporibus proportionales”.

Aunque no sepan latín, seguro que les suena lo de las áreas, tiempos y proporcionalidad.

Vale, vale. Aquí tienen la traducción [Ref. 6]

“Las áreas que los cuerpos en revolución describen mediante radios trazados hasta un centro de fuerza inmóvil se encuentran en los mismos planos inmóviles y son proporcionales a los tiempos en los que se describen”.

Es decir, la segunda ley de Kepler.

No se asusten: la demostración que hizo Newton es bastante sencilla.

De hecho, la empleó Richard Feynman en una de sus lecturas [Ref. 7] a un grupo de personas sin conocimientos de cálculo diferencial o de física. Basta con que uno sepa calcular el área de un triángulo.

Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun

Vamos con ello.

Imaginemos un cuerpo que se mueve en línea recta a velocidad constante. No existe ninguna fuerza gravitatoria sobre él.

En la figura anterior, es evidente que las longitudes b1 y b2 son iguales, ya que el cuerpo se mueve a velocidad constante.

Supongamos que dicho cuerpo es un PLANETA. Y supongamos que el SOL anda por ahí cerca, pero  sin ejercer ninguna atracción sobre él.

Para ver las áreas “barridas”, tenemos que trazar las líneas que unen al SOL con el PLANETA.

¿Se dan cuenta? La segunda ley de Kepler está claramente demostrada en esta figura, ya que las áreas A1 y A2 son las áreas de dos triángulos que tienen la MISMA BASE y la MISMA ALTURA.

Por lo que ambas áreas son IGUALES.

Ahora viene la parte interesante.

Supongamos que el SOL ejerce una fuerza de atracción (la gravedad).

El planeta deja de seguir su trayectoria rectilínea y se desvía hacia la izquierda, según se muestra en la siguiente figura.

En ausencia de gravedad, el planeta ocuparía la posición “D” y las áreas A1 y A2 serían iguales, tal y como hemos visto.

Sin embargo, al ser atraído hacia el sol, el planeta deja de seguir la trayectoria rectilínea y acaba en el punto “E”.

Lo que dice la segunda ley de Kepler es que el área del triángulo “ACE” es idéntica al área de los otros dos triángulos (“ABC” y “ACD”).

Para ello basta con completar la figura anterior, así:

Ahora es más fácil de ver.

En efecto, los triángulos “ACE” y “ACD” tienen la MISMA BASE (“AC”)

Pero, además, tienen la MISMA ALTURA (ya que FCDE es un paralelogramo).

Por lo que las áreas de los triángulos “ACE” y “ACD” son IDÉNTICAS.

Con esto ya pueden presumir entre sus amistades de haber comprendido la Proposición I de los Principia de Newton.

PHORONOMIA  (1716) – JAKOB HERMANN

Phoronomia - Corolario II
Phoronomia - Corolario II

Algo más tarde, en 1716, Jakob Hermann realiza la que se considera la primera demostración analítica (la argumentación de Newton se basa en razonamientos geométricos), en el corolario II de su “Phoronomia” (pp. 70-71).

La obra, en latín, puede consultarse aquí [Ref. 8].

Nota:

En una primera búsqueda no he encontrado una traducción disponible, ni la información suficiente como para poder analizar lo escrito en este corolario, así que no puedo explicar la demostración de Jakob. En todo caso, me lo apunto en mi (atiborrada) libreta de asuntos pendientes.

Hasta aquí la parte que podríamos denominar “histórica”.

En lo que sigue simplemente voy a exponer dos demostraciones “modernas” de la segunda ley de Kepler que vienen a ilustrar las ventajas que supone disponer de un lenguaje matemático más formal.

Pero ojo: este lenguaje no debe hacernos olvidar que cada fórmula y cada operación tienen un significado físico, geométrico y filosófico (en el mejor sentido del término, claro).

PARTE II

CÁLCULO VECTORIAL

De entre las muchas demostraciones existentes, me resultó interesante la que presentó Denis Auroux en uno de los cursos en abierto del MIT,  Multivariable Calculus. [Ref. 9]

No es una demostración estricta y rigurosa, pero tiene la ventaja de que puede comprenderla sin dificultad cualquier estudiante de primero de carrera (ingeniería, matemáticas, física, o carreras afines). Además, sirve para poner de manifiesto las propiedades GEOMÉTRICAS del producto vectorial.

A partir de esta figura

y sabiendo que el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al ÁREA DEL PARALELOGRAMO que definen, tenemos

dA = \frac{1}{2} | \vec{r} \times d\vec{r}|

dA = \frac{1}{2} | \vec{r} \times \vec{v}dt|

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} | \vec{r} \times \vec{v}| (ec. 1)

Por otro lado, el momento angular de una masa m (eg. Marte) respecto a un origen (en nuestro caso, el Sol) es

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}

\vec{L} = \vec{r} \times {m}\vec{v}

|\vec{L}| = m|\vec{r} \times \vec{v}|

Llevando este resultado a la expresión (ec. 1) obtenemos

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \frac{|\vec{L}|}{m}

Es decir,

\frac{dA}{dt} = constante

Lo cual, expresado en forma integral, nos dice que las áreas barridas son proporcionales a los tiempos empleados.

O lo que es lo mismo, la segunda ley de Kepler.

Pero ojo: lo anterior sólo es cierto si el módulo del momento angular se mantiene constante.

Para demostrarlo, emplearemos de nuevo las propiedades geométricas del producto vectorial.

Recordemos que

\vec{L} = m \vec{r} \times \vec{v}

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos

\frac {d \vec{L}}{dt} = m \frac {d}{dt} (\vec{r} \times \vec{v})

\frac {d \vec{L}}{dt} = m \frac {d\vec{r}}{dt} \times \vec{v} + m \vec{r} \times \frac {d \vec{v}}{dt}

\frac {d \vec{L}}{dt} = m \frac {d\vec{r}}{dt} \times \frac{d\vec{r}}{dt} + m \vec{r} \times \vec{a}

Como el producto vectorial de dos vectores PARALELOS es el vector NULO y empleando la conocida fórmula de Newton “fuerza igual a masa por aceleración” tenemos

\frac {d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}

Ahora bien, la fuerza de atracción (entre el Sol y Marte, en nuestro caso) tiene la dirección de la recta que une a ambos.

Por tanto, el vector fuerza es PARALELO al vector de posición, y su producto vectorial es, como hemos indicado, NULO.

En resumen:

\frac {d \vec{L}}{dt} = \vec{0}

Por lo que

|\vec{L}| = constante

MECÁNICA CLÁSICA – FORMALISMO LAGRANGIANO

Para finalizar, y sin entrar en mucho detalle, resumo aquí la demostración basada en el formalismo Lagrangiano de la Mecánica Clásica.

El Lagrangiano (diferencia entre la energía cinética y potencial) expresado en coordenadas polares es:

\pounds = \frac{1}{2}\mu(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) - V(r)

donde

\mu = \frac{m1m2}{m1+m2}

En la expresión anterior estamos asumiendo un sistema conservativo de dos cuerpos (de masas m1, m2) en el que el vector fuerza tiene la dirección de la recta que une sus centros.

Tomando derivadas parciales y debido a la conservación del momento angular

\frac{\partial{\pounds}}{\partial{\dot{\phi}}} = \mu r^2 \dot{\phi}

\mu r^2 \dot{\phi} = constante = l    (ec. 2)

Por otro lado tenemos que el diferencial de área del radio vector viene dado por

dA = \frac{1}{2}r^2d\phi

Cuya variación temporal es

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2{\dot\phi}

Si sustituimos (ec. 1) en esta última expresión obtenemos la relación deseada.

\frac{dA}{dt} = \frac{l}{2\mu} = constante

POST SCRIPTUM

Se me olvidó comentar que Kepler nunca llamó “leyes” a sus descubrimientos. El primero en hacerlo fue Voltaire (quien, por cierto, NO se llamaba así) en su obra “Eléments de la philosophie de Newton” (1738).

REFERENCIAS

[Ref. 1] “Astronomia Nova … de motibus stellae Martis”. Bodleian Library and RadCliffe Camera. University of Oxford.

Nota: También disponible como “Opera Omnia” en Internet Archive.

[Ref. 2] Stephenson, Bruce. (1994). Kepler’s Physical Astronomy. Princeton: Princeton University Press. p. 63.

[Ref. 3] Plummer, H. C. (1918). An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy. Cambridge: Cambridge University Press. p 2.

[Ref. 4] Pitlyk, M. (2006). Johannes Kepler’s Influence on the Development of Calculus. Honor Thesis, Honors Bachelor of Arts Program, Xavier University. pp. 5-6.

[Ref. 5] Cambridge Digital Library. Newton Papers Collection.

[Ref. 6] Escohotado, A. (1997). Principios Matemáticos de la Filosofía Natural. Tecnos. pp. 74-76.

[Ref. 7] Goodstein, David L. and Goodstein, Judith R. (1996) Feynman’s Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun.

[Ref. 8] Jakob Hermann (1716). Phoronomia, sive De viribus et motibus corporum solidorum et fluidorum libri duo

[Ref. 9] Auroux, Denis. (2007). Lecture 6: Kepler’s Second Law. Multivariable Calculus. MIT OpenCourseWare.

Otras referencias consultadas:

[Ref. 10] Aiton, E. J. (1969). Kepler’s Second Law of Planetary Motions. Isis. Vol. 60, No. 1 (Spring, 1969), pp. 75-90.

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