Teorema de POSIBILIDAD de Arrow

Este teorema habla de la posibilidad de que exista un sistema de votación justo.

Ya adelanto que Arrow DEMOSTRÓ que NO. Que es IMPOSIBLE.

Hasta aquí los titulares. Vamos ahora con los detalles.

En primer lugar, para entender adecuadamente este teorema, debemos ser precisos y definir adecuadamente “sistema de votación” y “justo”.

Desde el punto de vista matemático, las elecciones podrían modelarse como un proceso mediante el cual un conjunto de electores escriben sus preferencias en una papeleta y luego, mediante un algoritmo, dichas preferencias INDIVIDUALES se transforman en una preferencia del GRUPO.

El objetivo sería entonces buscar un algoritmo JUSTO, es decir, un algoritmo que transforme el conjunto de votos individuales en un resultado final que refleje de manera JUSTA las preferencias del grupo.

Antes de proseguir, vamos a exponer los elementos que entran en juego.

Por un lado, tenemos un conjunto FINITO de ALTERNATIVAS: A1, A2, …, An.

Por otro lado, tenemos un conjunto FINITO de ELECTORES: E1, E2, …, Em.

Además, daremos por hecho que TODOS los ELECTORES pueden ORDENAR las ALTERNATIVAS.

Por ORDENAR queremos decir que los ELECTORES son capaces de establecer una relación de orden “>” entre los candidatos.

Así, por ejemplo, el voto del elector E2 podría ser: A3 > A1 > A2. Lo cual significa que prefiere al candidato A3 antes que al candidato A1. Y que prefiere al candidato A1 antes que al candidato A2.

Ahora vamos a restringir un poco la relación de orden y le vamos a exigir que cumpla estas dos propiedades:

ORDENACIÓN TOTAL: dados dos candidatos Ai y Aj, TODOS los electores son capaces de decidir si Ai > Aj o viceversa.

Es decir, no puede haber INDEFINICIÓN (“no sé a quién prefiero”) ni IGUALDAD (“me da igual uno que otro”).

TRANSITIVIDAD: si un elector cualquiera ha decidido que Ai > Aj y por otro lado también ha decidido que Aj > Ak, ENTONCES dicho elector TAMBIÉN está decidiendo que Ai > Ak.

Las relaciones transitivas parecen obvias, pero no lo son. Son ciertas con los números y el significado normal de “>”, pero no lo son con otro tipo de entidades. Piensen en ello.

Vamos ahora con el ALGORITMO, es decir, con el procedimiento mediante el cual se transforman las preferencias individuales en la preferencia del grupo.

Al igual que con la relación de orden, vamos a exigirle a este algoritmo que cumpla una serie de condiciones. En concreto:

DETERMINISMO: El mismo conjunto de votaciones debe conducir siempre al mismo resultado.

Esto significa, entre otras cosas, que el resultado final no puede ser fruto del azar.

UNIVERSALIDAD: TODAS las ordenaciones posibles están permitidas.

Es decir, no puede haber ninguna ley que IMPIDA que se acepte una ordenación concreta.

Por ejemplo: el algoritmo no puede ser tal que diga que cualquier papeleta donde ponga A3 > A1 sea considerada NULA.

AUSENCIA DE DICTADURA: Los votos son libres. Nadie puede obligar a que se vote en uno u otro sentido.

En realidad, la idea que hay detrás de ello es evitar las “influencias” que pueda haber entre los votantes. Lo que se desea con esta condición es que el conjunto de los votos sean INDEPENDIENTES entre sí.

CONDICIÓN DE PARETO: Si TODOS los electores han escrito Ai > Aj, entonces en el resultado final debe aparecer que Ai > Aj.

Es cierto que a nosotros, los seres humanos, esta restricción nos parece obvia, pero en matemáticas hay que ser MUY precisos. Con esta condición se obliga, por ejemplo, a que el algoritmo sea consistente con las decisiones unánimes.

MONOTONÍA: Si el resultado final es Ai > Aj, entonces, si un elector cambia su preferencia de Aj > Ai por esta otra  Ai > Aj,
el resultado final deberá seguir siendo Ai > Aj.

Nota: ¡Fíjense bien en los subíndices!

Lo que se busca con ello es un algoritmo que vaya “agregando” votaciones de una forma “razonable”. No me negarán que sería raro que si A ganara las elecciones y luego durante la verificación de los votos se encontrara que, por error, un voto se contabilizó como B > A cuando en realidad debía contabilizarse como A > B (es decir, el elector PREFIERE a A) todo esto suponga un cambio drástico, de manera que A deje de ser el ganador.

INDEPENDENCIA DE ALTERNATIVAS IRRELEVANTES: Si el resultado final es Ai > Aj, entonces, si los electores cambiasen las preferencias para el resto de candidatos, MANTENIENDO sus relaciones de preferencia entre Ai y Aj, el resultado final seguiría siendo Ai > Aj.

Es decir, si el resultado final es FULANO > MENGANO, entonces, si la gente SOLO cambia sus preferencias entre ZUTANO Y PERENGANO, el resultado final de FULANO > MENGANO no debería cambiar.

O dicho de otro modo, el resultado FINAL entre FULANO y MENGANO SOLO DEPENDE de las relaciones que los votantes individuales hayan establecido entre FULANO y MENGANO, con INDEPENDENCIA del resto de relaciones entre los demás de candidatos.

Ya está. Estas son las reglas del juego.

La pregunta que se hizo Arrow fue: ¿existe algún algoritmo que CUMPLA todas estas condiciones?

Si han leído y comprendido las condiciones anteriores, estarán de acuerdo en que todas ellas son condiciones razonables y justas desde un punto de vista social y democrático.

Pues bien, en su artículo “A Difficulty in the Concept of Social Welfare” [Ref. 1], Kenneth Arrow demostró que para TRES o MÁS ALTERNATIVAS, NO ES POSIBLE. NO EXISTE ningún algoritmo que CUMPLA dichas condiciones.

La idea que se esconde detrás del Teorema de Arrow es muy simple y PERTURBADORA: NO EXISTE un algoritmo “JUSTO” o “DEMOCRÁTICO” que “reduzca” un conjunto de preferencias “individuales” a una “única” preferencia de “grupo”.

Llevando el teorema a un ámbito más mundano, imaginen a una famila que quiere decidir dónde pasar las vacaciones: en la playa, en la montaña o en la ciudad. La decisión final, independientemente de cómo se tome, NO reflejará de forma JUSTA el conjunto de opiniones individuales.

Ojo: todo esto se refiere al caso GENERAL. Es obvio que si todos los miembros de la familia votan “playa”, la decisión de ir a la playa será una decisión JUSTA, pero esto es una situación ÚNICA y PARTICULAR.

NOTAS FINALES

1. Me he centrado en describir las reglas y propiedades de manera que se entienda adecuadamente el significado de la palabra “JUSTO”. Me gustaría haber expuesto también la demostración, pero es bastante extensa y pesada y no encuentro el modo de resumirla en un solo post, que ya de por sí es bastante largo.

2. También, he llamado a esta entrada Teorema de POSIBILIDAD, en lugar de IMPOSIBILIDAD, como se le conoce normalmente, ya que así fue como lo denominó Arrow en su artículo. También se suele citar como la PARADOJA de Arrow, pero en este caso se entiende la palabra paradoja como algo en contra de la intuición, no como una paradoja propiamente dicha.

3. Como seguramente se leerán el artículo de Arrow, debo advertir que las condiciones que he expuesto más arriba, NO son las condiciones originales que empleó Arrow en su artículo. De hecho, son unas condiciones más estrictas y en algunos casos, redundantes.

ACTUALIZADO: Aquí tienen una síntesis (en inglés) de las definiciones, axiomas, lemas y condiciones extraídas del artículo original: Teorema de Arrow

REFERENCIAS

[Ref. 1] Arrow, Kenneth J. (1950) A Difficulty in the Concept of Social Welfare. Journal of Political Economy 58(4), pp. 328–346.

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2 comentarios sobre “Teorema de POSIBILIDAD de Arrow

  1. Quizá faltaría por definir el concepto de JUSTO, en cuanto a nivel de grupo, para todos aquellos casos en que no haya unanimidad. Es decir: ¿puede un individuo del grupo, que discrepa de las preferencias de los demás, hacer que el resutado no sea justo? ¿y dos individuos? ¿y…? ¿el hecho de pertenecer libremente a un grupo, y aceptar sus reglas, hace que las decisiones no unánimes no sean justas?

    Sallu2

    1. El concepto de JUSTO es precisamente LA LISTA DE CONDICIONES que debe cumplir el algoritmo de votación.

      El teorema NO OBLIGA a que se use la idea intuitiva de escoger “al que prefiere la mayoría”, ni entra a valorar si es moralmente válido dejar a un lado los deseos de uno o varios individuos.

      De hecho, y tal y como apuntó el propio Arrow, si eliminamos la condición de NO-DICTADURA, solamente hay un algoritmo que cumpla con todas las condiciones anteriores. Es precisamente el algoritmo de votación en el que el resultado final coincide SIEMPRE con el deseo de un ÚNICO votante (al que llamaremos DICTADOR). O lo que es lo mismo: el ÚNICO sistema que cumple todas las reglas enunciadas anteriormente es la DICTADURA. Esta es la razón por la cual se suele denominar “La paradoja de Arrow” a este teorema.

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