El Teorema Fundamental del Cálculo

Lectiones Geometricae
Lectiones Geometricae

Ya saben, ése que relaciona la integral y la derivada como operaciones inversa una de la otra.

La primera demostración general de este teorema se debe a Isaac Barrow (1630-1677) [Ref. 1] y de ella trata esta entrada.

Lo interesante de la demostración de Barrow es que es puramente geométrica y no hace uso de la noción de límite, noción ésta que aún necesitaría unos cuantos años de estudio y desarrollo por parte de matemáticos de la talla de Newton y Leibniz.

Vamos a ello.

Si se fijan en la imagen que encabeza este post [Ref. 2], se darán cuenta de que se trata de la portada de un libro de Barrow: “Lectiones Geometricae” (Lecciones de Geometría).

Ya adivinan que es precisamente en este libro donde Barrow expuso la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo. En concreto, en la Propositio 11 de la Lectio X [Ref. 3]:

prop 11, lectio X figures

No, no sé latín, así que he tenido que echar mano de una traducción al inglés [Ref. 4].

Empecemos.

1) Sit linea quaepiam ZGE, cujus axis UD;

Let ZGE be any curve of which the axis is UD;

figura#1
figura#1

2) ad quam imprimìs applicatae perpendiculares (UZ, PG, DE) ab initio UZ continue utcunque crescant;

and let ordinates applied to this axis, UZ, PG, DE, continually increase from the initial ordinate UZ;

figura#2
figura#2

3) sit item linea UIF talis, ut ducta quâcunq; recta EDF ad UD perpendiculari (quae curvas secet punctis E, F, ipsam UD in D) sit semper rectangulum ex DF, & designata quâdam R aequale spatio respective intercepto UDEZ;

also let UIF be a line such that, if any straight line EDF is drawn perpendicular to UD, cutting the curves in the points E, F, and UD in D, the rectangle contained by DF and a given length R is equal to the intercepted space UDEZ;

figura#3
figura#3

Nota: en la siguiente figura muestro las áreas para que se entienda mejor la construcción que está llevando a cabo Barrow.

figura#3bis
figura#3bis

4) fiat autem DE.DF::R.DT; & connectatur recta TF

also, let DE/DF = R/DT and join TF.

figura#4
figura#4

5) haec curvam UIF continget.

Then TF will touch the curve UIF.

Nota: esto quiere significar que Barrow está afirmando que la recta TF es tangente (touch) a la curva UIF en F.

A partir de aquí, Barrow pasa a demostrar dicha afirmación comprobando, por medio de relaciones entre áreas, que la recta TF no puede estar ni “por encima” ni “por debajo” de la curva UIF.

Recapitulemos.

Primero, Barrow construye una curva que es proporcional en cada punto al área que otra curva encierra con el eje de abscisas.

Luego, Barrow traza una tangente a esta curva que ha creado y demuestra que la pendiente de esta tangente es proporcional a la curva original (en realidad lo hace al revés, primero establece la relación de proporcionalidad que debe cumplir la pendiente de una recta y luego demuestra que la recta que tiene dicha pendiente es precisamente la tangente).

Resumiendo: Barrow ha demostrado que la pendiente de la tangente de una curva proporcional al área encerrada por otra curva con el eje de abscisas es proporcional en la misma medida a esta última curva.

Es decir, Barrow ha demostrado el Teorema Fundamental del Cálculo que relaciona derivada (pendiente de la tangente) e integral (área bajo una curva).

Como es posible que todo esto les esté resultando un poco lioso, voy a ver si consigo explicarlo con una terminología más cercana a la notación moderna.

Advertencia: no pretendo ser formal en la notación que sigue, sino tan sólo explicar cualitativamente los conceptos que encierra la demostración de Barrow.

Consideren que el punto D es la variable x.

Llamemos f(x) a la curva ZGE y g(x) a la curva UIF.

Entonces, el punto 3) viene a decir que:

R*g(x) = \int f(x)dx

ya que la segunda curva g(x) es proporcional en R al área encerrada por la primera curva f(x).

Por otro lado, el punto 5) significa que:

DF/DT = g'(x)

siendo g'(x) la pendiente de la tangente TF en F. Es decir, la derivada.

También, el punto 2) es lo mismo que decir que:

DE = f(x)

Finalmente, del punto 4) obtenemos que:

DE/DF = R/DT

o lo que es lo mismo,

DE * DT = R * DF

Sin pérdida de generalidad, podemos hacer R=1 (también podemos poner R en las ecuaciones, y ver que se anulará por repetirse en ambos lados de la igualdad).

DE = DF/DT

Es decir,

f(x) = g'(x)

donde

g(x) = \int f(x)dx

REFERENCIAS

[Ref. 1] Crossroads in the History of Mathematics and Mathematics Education, p. 8

“Isaac Barrow’s is generally credited to be the first who conceptualised differentiation and integración as inverse operations.”

[Ref. 2] The University of Sydney: Rare Books and Special Collections Library.

[Ref. 3] Gallica, from Biliothèque nationale de France.

[Ref. 4] The geometrical lectures of Isaac Barrow, translated, with notes and proofs, and a discussion on the advance made therein on the work of his predecessors in the infinitesimal calculus (1916)

Otras referencias consultadas:

[Ref. 5] The transition to calculus, part III.

[Ref. 6] Historical Reflections On Teaching the Fundamental Theorem Of Integral Calculus.

[Ref. 7] Barrow and Leibniz on the fundamental theorem of the calculus.

[Ref. 8] The Fundamental Theorem of Calculus A case study into the didactic transposition of proof.

ACTUALIZACIÓN

Les dejo aquí un applet de Geogebra en donde pueden ver de forma dinámica la relación entre área y tangente: http://www.geogebratube.org/student/m11857

Nota 1: Acabo de empezar hace bastante poco con Geogebra, por lo que no esperen maravillas.

Nota 2: En efecto. Las curvas que se muestran en este applet no son las que ha empleado Barrow en su demostración. Pero si han comprendido los conceptos que encierra el Teorema Fundamental del Cálculo no deberían tener ningún problema en interpretar lo que ven.

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Un comentario sobre “El Teorema Fundamental del Cálculo

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