El Teorema de Rolle

Ya saben, ése que dice (en su versión informal) algo así como que “si una función toma los mismos valores en los extremos de un intervalo dado, entonces existe algún punto en el intervalo por el cual podemos trazar una recta tangente horizontal”.

La primera demostración de este teorema se atribuye a Michel Rolle, y se encuentra en su obra Démonstration d’une Méthode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez (Demostración de un método para resolver las Igualdades de todos los grados). [Ref. 1, p. 253]

O dicho de un modo más moderno: demostración de un método de análisis numérico para obtener las raíces (reales) de polinomios de cualquier grado.

Este método, al que Rolle denominó Méthode des Cascades Algébriques (Método Algebraico de las Cascadas), fue expuesto en su obra Traité d’algèbre (Tratado de Álgebra), pero sin incluir justificación alguna, motivo por el cual Rolle tuvo que escribir una segunda obra, la “Démonstration…”, en la cual fundamenta y razona la validez del mismo. [Ref.1, p. 253] [Ref. 2]

¿En qué consiste el Método de las Cascadas?

La idea que Rolle persigue con su método es establecer intervalos alrededor de las raíces del polinomio, asegurándose de que dichos intervalos no contengan nada más que UNA (y sólo una) raíz.

Y así, en este contexto, lo que Rolle consiguió demostrar fue lo siguiente (no con estas palabras, claro, sino con su nomenclatura de “cascadas”). [Ref. 3, p. 344]

Dado un polinomio P(x), entonces P'(x) tiene una raíz (real) entre cualesquiera dos raíces (reales) de P(x).

Esto es,

Si P(a) = P(b) = 0, entonces existe “c”, a < c < b tal que P'(c) = 0.

Lo cual no es sino el enunciado del Teorema de Rolle aplicado al caso particular de polinomios y empleando las raíces como valores del intervalo.

Siendo más rigurosos, lo que Rolle demostró en realidad fue (y esto constituye la base de su método de las cascadas) [Ref. 4, p. 6]

Dado un polinomio P(x) para el cual se cumple que P(a) = P(b) = 0 y ADEMÁS no existe ningún otro c  en el intervalo (a,b) tal que P'(c) = 0, entonces P(x) tiene COMO MUCHO UNA RAÍZ (real) en el intervalo (a,b).

INCISO

Si no encuentran relación entre lo dicho más arriba y el Teorema de Rolle, imaginen que P(x) tuviese, por ejemplo, DOS raíces x1 y x2 en el intervalo (a,b) tales que P(x1) = P(x2) = 0.

Como la función P(x) alcanza el mismo valor en los extremos del intervalo (x1, x2) podemos aplicar el Teorema de Rolle y concluir que debe existir un x3 en el intervalo (x1,x2) tal que P'(x3) = 0.

Pero esto está en contradicción con el enunciado original, en el que se afirma que NO existe ningún otro punto en (a,b) tal que la derivada en dicho punto se anule.

FIN DEL INCISO

Para los muy curiosos (como yo): el lugar concreto en el que Rolle expone su “teorema” es el Article IX (y corolarios) de su “Démonstrations…” [Ref. 1, p. 254]

Pero ya digo que Rolle empleó, claro está, otra terminología y otro modo de expresar esta relación entre raíces de polinomios.

Seguramente habrá algún lector interesado en conocer cómo “funciona” el método y comprender qué relación tienen las “cascadas” de un polinomio con su derivada y con el teorema al que da nombre su autor.

Vamos a ello.

Antes de nada: Rolle define las siguientes cotas o límites para las raíces: [Ref. 4, p. 3]

– “Grande Hypothèse” (GH): es una cota superior para las raíces del polinomio.

– “Petite Hypothèse” (PH): es una cota inferior para las raíces del polinomio.

– “Hypothèses Moyennes” (HM): son cotas intermedias, según se van realizando las distintas “cascadas”.

Además, Rolle afirma que para cualquier polinomio:

GH = a/c+1

donde,

a: valor absoluto del mayor coeficiente negativo del polinomio.

c: es el coeficiente del término de mayor grado.

Por ejemplo, dado el polinomio

f(x) = x⁴ + 5 x³ – 25 x² – 65 x + 84

tenemos que a = 65 y c = 1. Por tanto GH = 66 es una cota superior para las raíces.

Conviene no olvidar que Rolle trabaja únicamente con raíces REALES.

El “algoritmo” de Rolle para una CASCADA es el siguiente: [Ref. 4, p. 4]

1. Multiplicar cada término por el EXPONENTE de la incógnita y dividir por la incógnita

2. Repetir este proceso hasta alcanzar un polinomio de primer grado.

Es decir, Rolle está calculando las sucesivas DERIVADAS del polinomio.

Vamos a ilustrar el método con un ejemplo que nos ofrece el propio Rolle en su Traité d’algèbre. [Ref. 6, p.133]

Nota: como no sé francés, la traducción de estas páginas del libro de Rolle la he tomado de aquí [Ref. 1, p. 254]

Se trata de encontrar las raíces del siguiente polinomio:

v⁴ – 24v³ + 198v² – 648v + 473 = 0

Para ello, aplicamos las sucesivas CASCADAS:

[3] 4v³ – 72v² + 396v – 648 = 0

[2] 12v² – 144v + 396 = 0 <=> 6v² – 72v + 198 = 0

[1] 12v – 72 = 0 <=> 4v – 24 = 0

El número indicado entre [corchetes] es el identificador de la cascada.  Esto es, las cascadas se “numeran” desde abajo hacia arriba.

Llegados a este punto, Rolle calcula los límites PH, HM y GH.

En nuestro caso, y de la última ecuación tenemos que v = 6 (este valor es el HM)

Lo cual significa que la SEGUNDA CASCADA tiene como límites

PH = 0 (es una cota mínima)

HM = 6

GH = 13 (a=72 y c=6, en la ecuación 6v² – 72v + 198)

Es decir, los límites de las raíces del polinomio 6v² – 72v + 198  son 0, 6 y 13.

Por tanto, las dos raíces (reales) se encuentran dentro de los intervalos (0,6) y (6,13).

Además, y esto es lo que Rolle demostró y constituye su “teorema” (recuerden todo lo que han leído más arriba), en cada uno de dichos intervalos SOLAMENTE hay UNA raíz.

Ahora viene lo interesante. Si tomamos, por ejemplo, los valores 4 y 7 como valores aproximados (por exceso) de las raíces, tenemos que el rango de límites para la TERCERA CASCADA es: 0, 4, 7, GH=648/4+1=163.

Por lo que las 4 raíces del polinomio 4v³ – 72v² + 396v – 648 se encuentran dentro de los intervalos (0,4) (4,7) (7,163).

Al igual que antes, uno puede emplear los valores 3, 6 y 9 como valores aproximados (por exceso) de las raíces del polinomio obtenido en la tercera cascada.

Siguiendo el proceso, tenemos que para la “cuarta cascada”, es decir, para nuestro polinomio original, los límites de sus raíces son: 0, 3, 6, 9, GH=648/1+1=649.

Es decir, que hemos simplificado bastante el problema de encontrar las raíces, ya que éstas se encuentran dentro de los intervalos (0,3), (3, 6), (6,9) y (9, 649).

Ahora sólo resta ir probando.

En este caso concreto, Rolle encuentra que v=1 es una solución exacta, y que 6, 8 y 10 son soluciones aproximadas.

Si se han perdido, probablemente es que no soy capaz de expresarme con mayor claridad. Pero les aseguro que funciona.

REFERENCIAS

[Ref. 1] David Eugene Smith. A Source Book in Mathematics. Courier Dover Publications, 1959.

[Ref. 2] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Rolle.html

[Ref. 3] Calculus, Single Variable. Blank, Krantz

[Ref. 4] http://mathdl.maa.org/images/upload_library/46/Washington_Rolle_ed.pdf

[Ref. 5] Démonstration d’une Méthode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez.

[Ref. 6] Traité d’algèbre.

NOTAS

La obra Traité d’algèbre está disponible de forma gratuita (formato eBook) en Google play.

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