Espacio Probabilístico y Sigma-álgebra

A \sigma-algebra \mathcal{F} on a set \Omega is a collection of subsets of \Omega satisfying the following properties:

  1. \emptyset \in \mathcal{F}.
  2. If E \in \mathcal{F} then E^{C} \in \mathcal{F}.
  3. For any collection \{ A_n \}_{n=1}^{\infty} \in \mathcal{F}, \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{A_n} \in \mathcal{F}.

A measurable space (\Omega,\mathcal{F}) is a set \Omega together with the \sigma-algebra \mathcal{F} on the set.

A measure \mu on a measurable space (\Omega,\mathcal{F}) is a function from \sigma-algebra \mathcal{F} to \mathbb {R} such that (see note below):

  1. \mu(\emptyset)=0.
  2. \forall {A} \in \mathcal{F},\mu(A)\geq 0
  3. For any collection \{ A_n \}_{n=1}^{\infty} \in \mathcal{F} such that A_i \cap A_j = \emptyset, \forall i \not= j (pairwise disjoint sets), then \mu(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{A_n}) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\mu(A_n)}

A measure space (\Omega, \mathcal{F}, \mu) is a measurable space (\Omega, \mathcal{F}) together with the measure \mu on it.

A probability space is a measure space (\Omega, \mathcal{F}, P) such that the measure P of the whole space \Omega is equal to one: P(\Omega)=1.

In summary, a probability space (\Omega,\mathcal{F},P) consists of:

  1. An arbitrary set \Omega \equiv sample space.
  2. A \sigma-álgebra of subsets of \Omega, \mathcal{F} \equiv set of events.
  3. A probability measure, P such that P(\Omega) = 1.

Note: to be precise, measure definition just only requires a semiring structure.

A measure \mu on a semiring \mathcal{I} is a function from \mathcal{I} to \mathbb {R} such that:

  1. \mu(\emptyset)=0.
  2. \forall {A} \in \mathcal{I},\mu(A)\geq 0
  3. For any collection \{ A_n \}_{n=1}^{\infty} \in \mathcal{I} where A_i \cap A_j = \emptyset, \forall i \not= j (pairwise disjoint sets) and such that \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{A_n} \in \mathcal{I}, then \mu(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{A_n}) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\mu(A_n)}

If \mathcal{I} is a \sigma-algebra then the assumption \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{A_n} \in \mathcal{I} is always satisfied by definition.

COMENTARIOS

La pregunta que uno se hace es: ¿por qué se define la medida de probabilidad en una \sigma-álgebra?

Algunos creen ERRÓNEAMENTE que la razón está relacionada con el hecho de que NO es posible definir una medida en TODOS los subconjuntos del espacio muestral.

Por ejemplo, el conjunto de Vitali, no es Lebesgue-medible (si aceptamos el axioma de elección).

Pero ésta NO es la razón, ya que:

– El power set de un conjunto infinito no-numerable existe y es una \sigma-álgebra.

– Siempre es posible definir una medida de probabilidad en cualquier \sigma-álgebra. Para ello, basta con tomar un elemento \omega del espacio muestral \Omega, y definir:

p(A)=1 si \omega \in A

p(A)=0 en caso contrario.

Nota: claro que esto es una medida de probabilidad muy simple, por lo que en la práctica se emplea la \sigma-álgebra generada por la colección de todos los intervalos abiertos finitos (conjuntos de Borel).

Resumiendo: la verdadera razón de la elección de \sigma-álgebras es porque son CERRADAS con respecto a la unión, intersección y complementariedad.

Por último, conviene saber que la cardinalidad de una \sigma-álgebra es FINITA o INFINITA-NO-NUMERABLE.

REFERENCIAS

http://charlydif.wordpress.com/2008/12/21/sobre-proba/

http://math.iisc.ernet.in/~manju/ProbTheory/Notes/Lecturenotes.pdf

http://math.stackexchange.com/questions/105944/probability-over-a-given-sigma-algebra

http://mathoverflow.net/questions/31603/why-do-probabilists-take-random-variables-to-be-borel-and-not-lebesgue-measurab

http://math.stackexchange.com/questions/23776/interpretation-of-sigma-algebra

http://mathoverflow.net/questions/32720/non-borel-sets-without-axiom-of-choice

http://mathproblems123.wordpress.com/2011/09/08/infinitely-countable-sigma-algebra/

http://math.stackexchange.com/questions/70880/cardinality-of-borel-sigma-algebra

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Un comentario sobre “Espacio Probabilístico y Sigma-álgebra

  1. Mi duda es, con respecto a la tercera condición del sigma-algebra, con ello estamos dando la posibilidad de que tenga infinitos elementos, es decir infinitos subconjuntos, lo cual la haría infinita numerable. ¿?

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