¿Cómo de grande es un punto?

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NOTA: lo que sigue es un resumen del magnífico artículo: “How Big is a Point?” de Richard J. Trudeau [1].

“Un punto es lo que no tiene partes”.

En el lenguaje de los matemáticos griegos, “parte” viene a significar “dimensión”.

Es decir, Euclides imaginaba un punto como una entidad que no tiene longitud, ni altura, ni anchura.

No sé si lo han notado, pero es un concepto MUY profundo.

De hecho, choca contra nuestra intuición y sentido común.

Normalmente, cuando se introduce el concepto de punto, se suele poner como ejemplo el pensar en un círculo (aunque sería más conveniente pensar en una esfera) cuyo diámetro es muy, muy, muy, muy pequeño en relación al resto de elementos que lo rodean. Es una aproximación muy empleada en Física: la luna es un punto, en comparación al sol. El sol es un punto, en comparación con la galaxia. Yo soy un punto, en comparación con la Tierra.

De este modo, nuestra intuición cede un poco y estamos algo más cómodos, ya que tenemos un modo de “visualizar” este objeto tan extraño que carece de dimensiones.

El problema viene cuando uno se topa con un segmento. Es decir, un trozo de línea con una longitud determinada (p. ej., 1 cm.).

Un segmento está compuesto por puntos.

Entonces, ¿cómo diablos adquiere LONGITUD un segmento? ¿Cómo es posible que “poniendo un punto al lado del otro” APAREZCA de repente una nueva dimensión? ¡La “suma” (finita o infinita) de longitudes CERO no puede dar lugar a una longitud FINITA!

La respuesta es que dichas objecciones no responden a la LÓGICA, sino a la INTUICIÓN.

Veamos.

La frase “poner un punto al lado del otro” CARECE DE SENTIDO. ¿Cómo vamos a poner un punto “AL LADO DE” otro, si un punto NO TIENE DIMENSIONES?

En general, ése es uno de los mayores problemas de las analogías. Al hacer la analogía de un punto como una canica muy pequeña, uno OLVIDA el concepto original. Y lo que es peor, si APLICAMOS dicha analogía a otros conceptos basados en el concepto de punto, podemos llegar a CONCLUSIONES ERRÓNEAS.

Vale. Ya hemos aceptado que una línea está formada DE ALGÚN MODO QUE NO SOMOS CAPACES DE IMAGINAR por puntos.

Ahora bien, ¿cómo APARECE la nueva DIMENSIÓN? ¿Cómo aparece la LONGITUD a partir de algo que CARECE DE LONGITUD?

La respuesta es que la objección anterior sigue BASADA en la INTUICIÓN, no en la LÓGICA.

Pensamos que la LONGITUD de un segmento viene dada DE ALGÚN MODO por la “SUMA” de LONGITUDES más pequeñas, y que dichas longitudes más pequeñas tienen que provenir de las longitudes de los puntos. Pero como los puntos NO TIENEN LONGITUD, llegamos a una contradicción. Y por tanto, creemos que NO ES POSIBLE crear un segmento a partir de puntos.

Fijémonos en la palabra “SUMA” del párrafo anterior.

De forma implícita estamos empleando el concepto “SUMA” desde un punto de vista ARITMÉTICO.

Además, nuestro concepto INTUITIVO de “SUMA” (cardinal de la unión de conjuntos) sólo es aplicable a SUMAS FINITAS.

Es decir, nuestra INTUICIÓN no es capaz de “visualizar” una “SUMA” DE INFINITOS ELEMENTOS.

Bueno, quizás a las personas que hayan estudiado series, les sea más fácil aceptar que se pueden “SUMAR” infinitos elementos. Sin embargo, el meollo de la cuestión es que la suma de series que uno suele tener en mente está formada por una cantidad INFINITO NUMERABLE de elementos. Y aquí estamos hablando de una “SUMA” NO CONTABLE de elementos. Estamos en el ámbito CONTINUO, no en el discreto. No hablamos de SUMATORIOS sino de INTEGRALES.

Ajá. Ya casi estamos llegando al final.

El modo en que se suele introducir la INTEGRAL es como una SUMA INFINITA DE TÉRMINOS INCONTABLES. Algo así como una generalización del SUMATORIO.

Pero esto es otra vez una INTERPRETACIÓN INTUITIVA del CONCEPTO de INTEGRAL.

Así que abandonemos de una vez la INTUICIÓN y empleemos la LÓGICA.

Olvidemos el concepto INTUITIVO de SUMA.

Y aceptemos el hecho de que un segmento está formado por puntos. Y que la LONGITUD de un segmento APARECE por la COMBINACIÓN DE UN CONJUNTO INFINITO NO NUMERABLE de PUNTOS.

Es decir, olvidemos los conceptos ARITMÉTICOS y vayamos a conceptos GEOMÉTRICOS.

Si formamos un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1, la hipotenusa ha de
tener longitud \sqrt 2.

Es decir un número IRRACIONAL.

Algo que produjo una “conmoción” en la forma de pensar al trabajar con los números hasta entonces.

Algo que parecía ILÓGICO y por tanto NO RACIONAL.

Porque durante mucho tiempo se creía que uno podía formar figuras geométricas con
materiales REALES y que las longitudes guardaban relaciones enteras entre sí.

Y así, se pensaba que se podía formar un triángulo con “canicas”, y que habría un número CONTABLE de canicas formando el triángulo. Y que las proporciones entre número de canicas eran relaciones RACIONALES.

El descubrimiento de la IRRACIONALIDAD de \sqrt 2 significaba que, en CONTRA de lo que siempre se había dado por hecho, EXISTEN pares de segmentos que NO TIENEN UNA MEDIDA COMÚN. No existe una “canica”, por muy pequeña que sea, que mida ambas longitudes.

Por lo que concluyeron (agárrense y asómbrense de la capacidad matemática y lógica
de los griegos) que la EXISTENCIA del número \sqrt 2 SIGNIFICABA que los PUNTOS NO PUEDEN TENER DIMENSIÓN.

La posterior evolución de las Matemáticas y de los conceptos de integral y de las forma de “operar” con conjuntos infinito no numerables nos ha dado una mayor comprensión del significado de la palabra “MEDIDA”.

En todo caso, hay que reconocer el enorme genio LÓGICO y GEOMÉTRICO de los matemáticos de la antigua Grecia.

LEAN Y DISFRUTEN DEL ARTÍCULO DE Richard J. Trudeau. ¡YA!

[1] Richard J. Trudeau. “How Big is a Point?“. The College Mathematics Journal, Vol. 14 (1983), pp. 295-300.

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