Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (1)

Introducción

En su conferencia de 1870, Über den Ursprung und die Bedeutung geometrischen Axiome[1], Helmholtz reflexiona sobre los recientes avances en el campo de la geometría, así como sobre la posibilidad de elaborar otros sistemas geométricos basados en postulados distintos a los de Euclides, en especial el relativo al de las paralelas.

No es una conferencia técnica sino conceptual, planteada en un lenguaje sencillo y asequible incluso para quienes no tienen formación matemática, por lo que los que abandonan la lectura apenas perciben una simple fórmula no tienen excusa para no seguir leyendo.

Exposición breve de algunos axiomas de la geometría de Euclides

Helmholtz comienza explicando que se denominan axiomas aquellas proposiciones elementales que no pueden ser demostradas, pero que todo el mundo acepta como evidentemente ciertas.

A continuación menciona algunos de ellos, si bien no son los originales de los Elementos[2], sino los que el estudio pormenorizado de la geometría euclídea acabó por formalizar y consolidar a lo largo del tiempo.

Por ejemplo, si llamamos línea recta a la línea más corta que une dos puntos, entonces solo puede existir una única línea recta entre estos dos puntos[3].

Otro axioma sería que tres puntos que no pertenezcan a la misma línea recta definen un plano, entendiendo por plano aquella superficie que incluye todas las líneas rectas que unen dos puntos cualesquiera de esta superficie[4].

O el controvertido quinto postulado: si llamamos paralelas a las líneas rectas que nunca se cruzan, entonces por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una recta paralela a aquella[5].

Las dimensiones espaciales

Helmholtz pasa ahora a hablarnos de las dimensiones espaciales y de las entidades geométricas básicas: puntos, líneas, superficies y sólidos, haciendo notar que el espacio es continuo.

En concreto, el punto carece de dimensiones y es indivisible[6]; la línea tiene una sola dimensión[7]; las superficies, dos[8]; y el espacio es tridimensional[9].

Además, los límites de una línea son puntos[10]; las superficies están limitadas por líneas[11]; y un sólido está limitado por superficies[12].

Finalmente, un punto en movimiento describe una línea; una línea en movimiento genera una línea o una superficie; el movimiento de una superficie crea una superficie o un sólido; y el movimiento de un sólido genera un sólido Y NADA MÁS[13].

Sobre el origen de los axiomas

Tras esta introducción Helmholtz plantea las siguientes preguntas: ¿cuál es el origen de los axiomas de la geometría? ¿Por qué son indemostrables? ¿Por qué TODA la geometría puede derivarse a partir de ellos empleando únicamente el razonamiento LÓGICO?[14] ¿Son, como argumenta Kant, formas a priori?[15]

Con respecto a la imposibilidad de demostrar los axiomas, Helmholtz se cuestiona si el hecho de que no se haya encontrado una demostración no signifique que dicha demostración no exista, sino que aún no hemos sido capaces de hallarla.

Enseguida rechaza esta posibilidad y pone como ejemplo a aquellos matemáticos noveles que buscan con afán una demostración, pero que pasado el tiempo se dan cuenta de lo infructuoso de su búsqueda, al igual que ya se dieron cuenta otros matemáticos de mayor genio y talento.

En cuanto a aquellos que dicen haber encontrado una prueba para tal o cual axioma, ocurre que sus razonamientos son tan enrevesados y complejos que ellos mismos se pierden en su propia maraña y son incapaces de identificar los errores ocultos en la pretendida demostración. El ejemplo más claro sería los intentos para demostrar el quinto postulado[16].

SIGUE EN: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (2)


NOTAS

1. El contenido de esta conferencia fue publicado años más tarde por la revista Mind (Helmholtz, 1876a). La versión alemana apareció en el tercer volumen de las Populäre wissenschaftliche Vorträge (Helmholtz, 1876b), a la cual Helmholtz añadió algunos párrafos en la introducción y un apéndice matemático.

Las ideas de Helmholtz fueron objeto de críticas por parte del filósofo Jan Pieter Nicolaas Land quien, en un artículo publicado también en Mind (Land, 1877), defendió la postura apriorística de Kant, lo cual llevó a Helmholtz a publicar una segunda parte de su artículo original respondiendo a estas críticas (Helmhotz, 1878).

2. Elementos (Euclides, 1991), (Euclides, 1994), (Euclides, 1996) es el libro más antiguo conocido donde se desarrolla un tratamiento axiomático deductivo de las matemáticas. En él Euclides enumera cinco postulados y cinco nociones comunes que pueden asimilarse a un conjunto de diez axiomas.

La razón por la que Euclides los separó en dos categorías se debe probablemente a que los postulados son específicos para la geometría, mientras que las nociones comunes no están restringidas a este ámbito.

3. Euclides define la línea recta como aquella que “yace por igual respecto de todos sus puntos” (Elementos. Libro I, Definición 4). ”Yace por igual” es un modo rudimentario para hablar de curvatura (curvatura nula, en este caso).

Fue Arquímedes quien en su tratado Sobre la Esfera y el Cilindro (Arquímedes, 2005) introdujo la definición de recta como “aquella línea que es la más corta entre las que tienen los mismos extremos”.

Que la línea recta es la más corta entre dos puntos y que además es única es algo que se da por hecho en los Elementos, si bien no de forma explícita. Para el caso de caminos RECTOS, la famosa “desigualdad triangular” (Proposición 20, Libro I) muestra que la recta que une dos puntos es el camino más corto de entre todos los caminos posibles construidos mediante rectas, mientras que la proposición 7 del libro I habla de la unicidad de dichos caminos rectos.

4. De nuevo esta definición de plano es una versión más formal que la expuesta por Euclides: “superficie que yace por igual respecto de todas las líneas contenidas en ella” (Elementos. Libro I, Definición 7).

Gauss encontraba que la definición formal estaba sobrecargada, además de contener un teorema implícito, tal y como escribió a Friedrich Bessel en una carta con fecha de 27 de enero de 1829 (Gauss, 1900):

“dass ausser der bekannten Lücke in Euklids Geometrie, die man bisher umsonst auszufüllen gesucht hat, und nie ausfüllen wird, es noch einen andern Mangel in derselben gibt, den meines Wissens niemand bisher gerügt hat, und dem abzuhelfen keinesweges leicht (obwohl möglich) ist. Dies ist die Definition des Planum als einer Fläche, in der die, irgend zwei Punkte verbindende, gerade Linie ganz liegt. Diese Definition enthält mehr, als zur Bestimmung der Fläche nöthig ist, und involvirt tacite ein Theorem, welches erst bewiesen werden muss”.

Cuya traducción vendría a ser (Gray, 2006):

“apart from the well-known gap in Euclid’s geometry, there is another that, to my knowledge no-one has noticed and which is in no way easy to alleviate (although possible). This is the definition of a plane as a surface that contains the line joining any two of its points. This definition contains more than is necessary for the determination of the surface, and tacitly involves a theorem which must first be proved…” [8, Gauss to Bessel, VIII, p. 200].

El teorema tácito al que se refiere Gauss es que se da por hecho que la recta que une dos puntos de un plano tiene también todos sus puntos en dicho plano.

5. Otra vez la formulación indicada no es la original sino un axioma equivalente desarrollado por John Playfair.

El texto de los Elementos es más enrevesado,

“Si los ángulos internos que se forman al cortar una recta a otras dos suman menos de dos rectos, entonces las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarán del lado en el que están los ángulos que suman menos de dos rectos”.

Una de las razones por las cuales este postulado ha sido tan controvertido se debe a que su formulación original contrasta con la simplicidad expositiva de los otros cuatro.

Otra crítica al postulado es que dista mucho de ser EVIDENTE ya que, como apuntó por ejemplo Proclo en sus Comentarios al Primer Libro de Los Elementos de Euclides, existen líneas que se aproximan indefinidamente sin llegar a cruzarse (i. e. las asíntotas) y Euclides no nos ofrece ningún argumento para que no pueda ocurrir lo mismo en el caso de las rectas.

6. Elementos. Libro I, Definición 1: “Un punto es lo que no tiene partes”.

7. Elementos. Libro I, Definición 2: “La línea es una longitud sin anchura”.

8. Elementos. Libro I, Definición 5: “Las superficies solo tienen longitud y anchura”.

9. Elementos. Libro XI, Definición 1: “Un sólido es una figura con longitud, anchura y profundidad”.

10. Elementos. Libro I, Definición 3: “Los extremos de una línea son puntos”.

11. Elementos. Libro I, Definición 6: “Los extremos de una superficie son líneas”.

12. Elementos. Libro XI, Definición 2: “Los límites de un sólido son superficies”.

13. Seguramente piensen que los conceptos de punto, línea, superficie… son fáciles de asimilar y muy intuitivos.

Pero, ¿no les parece extraño esto de definir un punto como un objeto “sin partes”, “sin dimensiones”? Aún más, ¿cómo es posible que “alineando” un conjunto de puntos se pueda construir una línea unidimensional? ¿Cómo pueden un conjunto de puntos, carentes de dimensión, CREAR una dimensión de la “nada”?

A quienes tengan interés por las cuestiones anteriores les recomiendo leer este MAGNÍFICO artículo How Big is a Point? (Trudeau, 1983).

14. Wittgenstein (Wittgenstein, 1963) afirma que las matemáticas son en último término una tautología: “Die Sätze der Logik sind Tautologien”. (Tractatus. 6.1).

Dicho lo cual es conveniente recordar estos comentarios de Terry Tao (Tao, 2008):

“It is true that mathematical theorems are, ultimately, tautologies, but they are very non-obvious and useful tautologies nonetheless. For instance, any theorem about three-dimensional Euclidean space {\Bbb R}^3 is a tautology which does not directly have any physical significance; however, if one then combines such tautologies with the non-mathematical belief that physical space can be modeled (at human scales) by {\Bbb R}^3, then suddenly these theorems yield useful physical consequences that can be verified empirically. Because of things like this, I find the distinction between tautologies and non-tautologies to not be particularly useful in practice”.

“In any event, theorems and proofs are not the fundamental objective of mathematics, despite the possible appearance to the contrary; what we really seek is the understanding of various mathematical phenomena, including those phenomena which model analogous real-world phenomena. Formal theorems and proofs are an excellent way to objectively capture and quantify this understanding (and to eliminate all sorts of misunderstanding), but they are a means to an end only”.

15. Para Kant, tanto el espacio como el tiempo son formas a priori de la sensibilidad, es decir, intuiciones puras, no adquiridas empíricamente, mediante las cuales estructuramos la información que la experiencia sensible nos proporciona sobre la realidad que nos rodea (Kant, 1978).

Como consecuencia, NINGÚN experimento podrá contradecir la geometría euclídea, ya que la realidad siempre se nos presentará estructurada en dicha forma (la analogía que suele hacerse es la de tener puestas unas gafas cuyos cristales solo dejan pasar un color determinado. El mundo SIEMPRE tendrá para nosotros dicho color y ningún experimento nos mostrará la existencia de un color distinto).

El lector interesado en las ideas de Kant acerca del espacio y del tiempo puede encontrar más detalles en esta entrada de la Stanford Encyclopedia of Philosophy (Janiak, 2009).

16. Sobre los intentos que ha habido a lo largo de la historia para demostrar el postulado de las paralelas, pueden consultar este excelente resumen de Alexander Bogomolny.

A una edad tan temprana como los 22 años, Gauss empieza a sospechar que el postulado de las paralelas no es un teorema que pueda derivarse del resto de axiomas.

Así, en una carta dirigida a Bolyai el 16 de diciembre de 1799 podemos leer:

“Allein der Weg den ich eingeschlagen habe, nicht Führt so wol zu DM Ziele das man wünscht und Welches Du erreicht Zu haben Versicherst, als vielmehr dahin, sterben Wahrheit der Geometrie zu machen zweifelhaft”.

Que traducido al inglés viene a decir (Burris, 2003):

“the path that I have hammered out does not so much lead to the goal that one hopes for, and which you have secured, but much more it makes the truth of geometry dubious”.

Es decir, las investigaciones de Gauss, más que apoyar la veracidad de la geometría de Euclides, la ponen en duda (en este contexto, que la geometría euclídea fuese la verdadera geometría del espacio, requería poder probar el quinto postulado).


REFERENCIAS

1. Helmholtz, H. (1876a). The Origin and Meaning of Geometrical Axioms. Mind, 1(3), 301-321.

2. Helmholtz, H. (1876b). Über den Ursprung und die Bedeutung geometrischen Axiome. Populäre wissenschaftliche Vorträge, 3, 21-54. Braunschweig: Druck und Verlag Von Friedrich Vieweg und Sohn.

3. Land, J. P. N. (1877). Kant’s Space and Modern Mathematics. Mind, 2(5), 38-46.

4. Helmholtz, H. (1878). The Origin and Meaning of Geometrical Axioms. (II.). Mind, 3(10), 212-225.

5. Euclides. (1991). Elementos. Vol. 1, libros I-IV. (Puertas Castaños, M. L., trad.). Madrid: Gredos.

6. Euclides. (1994). Elementos. Vol. 2, libros V-IX. (Puertas Castaños, M. L., trad.). Madrid: Gredos.

7. Euclides. (1996). Elementos. Vol. 3, libros X-XIII. (Puertas Castaños, M. L., trad.). Madrid: Gredos.

8. Arquímedes. (2005). Tratados I. Comentarios. (Ortiz García, P., trad.). Madrid: Gredos.

9. Gauss, C. F. (1900). Carl Friedrich Gauss Werke, Band 8, Königl. Gesellschaft Wiss. Gottingen, Teubner, Leipzig.

10. Gray, J. (2006). Gauss and no-Euclidean geometry. Non-Euclidean Geometries, 61-80. Springer.

11. Trudeau, R. J. (1983). How Big Is a Point?. The Two-Year College Mathematics Journal, 14(4), 295-300.

12. Wittgenstein, L. (1963). Tractatus Logico-Philosophicus. The German Text of Logisch-Philosophische Abhandlung, with a New Translation by DF Pears & BF Mcguinness, and with the Introd. By Bertrand Russell.

13. Tao, T. (2008, 18th June). The strong law of large numbers. [Weblog]. Retrieved 17 July 2016, from https://terrytao.wordpress.com/2008/06/18/the-strong-law-of-large-numbers/#comment-41939

14. Kant, I. (1978). Crítica de la razón pura. (Ribas, P., trad.). Madrid: Alfaguara.

15. Janiak, A. (2009, 14th September). Kant’s Views on Space and Time. [Weblog]. Retrieved 19 July 2016, from http://plato.stanford.edu/entries/kant-spacetime/

16. A. Bogomolny, Attempts to Prove Euclid’s Fifth Postulate from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/Attempts.shtml, Accessed 21 July 2016.

17. Burris, S. (2003, September). Crash Course Notes. [Weblog]. Retrieved 21 July 2016, from https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf

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