Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (2)

VIENE DE: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (1)

Principales fuentes de error en las demostraciones geométricas

Profundizando en este último punto, Helmholtz nos dice que la dificultad a la hora de asegurar la corrección de las demostraciones geométricas radica en que los razonamientos LÓGICOS, basados única y exclusivamente en los axiomas iniciales, se entremezclan de manera sutil e inconsciente con las “verdades” que la EXPERIENCIA sensorial nos ha sumistrado a lo largo de nuestra vida.

También, muchas de las demostraciones vienen acompañadas de figuras o requieren la construcción de líneas axiliares, algo que en un principio puede parecer útil para facilitar la comprensión, pero que en ocasiones pueden esconder errores muy sutiles[18] o tratarse de axiomas de EXISTENCIA Y UNICIDAD adicionales[19].

Como bien apunta Helmholtz, es SIGNIFICATIVO que el método CONSTRUCTIVO juegue un papel tan importante en los Elementos[20].

Congruencia[21] y movimientos rígidos

Para Helmholtz, el método constructivo de Euclides tiene como fundamento último el poder establecer la congruencia de figuras geométricas, lo cual implica que tenemos que MOVER[22] una figura y superponerla a otra para poder comprobar si coinciden.

En todo este proceso hay que estar seguros de que durante dicho movimiento la figura no cambia de forma ni de tamaño[23].

Este hecho (que el movimiento no modifica la forma o tamaño de los cuerpos) es algo que parece avalar la experiencia, PERO quizás no exista una prueba LÓGICA en la que fundamentar esta circunstancia.

De ser así, argumenta Helmholtz, las pruebas basadas en la congruencia entre objetos, y por tanto, las demostraciones de la geometría euclídea, tendrían como fundamento último nuestra experiencia sensorial.

Los métodos algebraicos en la geometría

Con todo lo anterior Helmholtz ha querido poner de manifiesto que las demostraciones que ofrece el método constructivo llevan aparejadas una serie de problemas.

Para solventar estos problemas es conveniente emplear el método analítico y trasladarnos al campo de la geometría algebraica ya que, en este caso, los cálculos realizados son operaciones puramente LÓGICAS.

Otra razón es que no es posible “añadir” información espuria a las entidades con las que operamos, porque estas pueden referirse a cualquier objeto (no solo a objetos geométricos), y así, es más difícil caer en prejuicios, algo habitual cuando sabemos que estamos trabajando con una figura geométrica que podemos representarnos en nuestra mente o dibujar en un papel.

Para Helmholtz, los enormes avances que se han venido sucediendo en el campo de la geometría han sido posibles gracias al empleo de los métodos puramente abstractos que proporcionan las herramientas algebraicas.

SIGUE EN: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (3)


NOTAS

18. Un ejemplo de cómo las construcciones auxiliares pueden inducir al error es la conocida “demostración” de que TODOS los triángulos son ISÓSCELES (Bogomolny, #2), o si lo prefieren, TODOS los triángulos son EQUILÁTEROS.(Numberphile, 2014)

19. En el siglo XIX ya se sabía que los postulados y nociones comunes de los Elementos eran insuficientes para demostrar todos sus teoremas.

Así, en la primera construcción geométrica que nos presenta Euclides se asume que las dos circunferencias comparten un mismo punto, lo cual NO se deduce de los axiomas. Para que esto ocurra es necesario hacer uso de la continuidad.

Con el fin de solucionar estos problemas comenzaron a elaborarse distintas axiomatizaciones de la geometría euclídea, poniendo especial énfasis en emplear rigurosamente el método deductivo en la demostración de los teoremas, siendo Moritz Pasch el primero en publicar una propuesta seria de axiomatización (no exactamente de la geometría euclídea, sino de la geometría proyectiva) en sus Vorlesungen über neuere Geometrie (Pasch, 1882), de la cual existe una traducción al español (Pasch, 1913).

Si bien, el conjunto de axiomas más conocido y cercano al espíritu de los Elementos será el propuesto por David Hilbert en sus Grundlagen der Geometrie (Hilbert, 1899). Los interesados disponen de una versión española de esta obra, con introducción histórica y notas explicativas, publicada por el C. S. I. C (CSIC, 1952).

20. Se dice que una demostración de la existencia de un ente matemático es constructiva cuando nos muestra el modo de “construir” dicho objeto.

Por eso los constructivistas no otorgan carácter de axioma a la “ley del tercio excluido” ya que es el fundamento de las pruebas por reductio ad absurdum, y este tipo de demostraciones tan solo aseguran la existencia, pero no ofrecen ningún ejemplo con el que poder contrastar la proposición que se pretende demostrar.

Los intuicionistas (una de las principales escuelas del constructivismo) opinan que la “ley del tercio excluido” tiene su origen en nuestras experiencias con conjuntos finitos por lo que extender su aplicación a conjuntos infinitos no está justificado.

Aunque gran parte de las demostraciones de Euclides son constructivas, tuvo que emplear a veces la demostración por reducción al absurdo, en especial al hablar de números (desde un punto de vista geométrico, claro). El ejemplo típico sería la existencia de infinitos numeros primos (Proposición 20, Libro IX)*.

* No, no hago mención a la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos porque no se considera que estuviese incluida en los libros originales, sino que casi con seguridad se trata de una interpolación posterior.

21. Dos figuras geométricas son CONGRUENTES si tienen la misma forma y tamaño, o lo que es lo mismo, si podemos hacerlas coincidir mediante movimientos rígidos: traslación, rotación y reflexión (por reflexión nos referimos a la imagen especular).

Dos figuras geométricas son SEMEJANTES si tienen la misma forma, pero diferente tamaño. Tampoco es necesario que tengan la misma orientación (es decir, se permite la rotación y la simetría axial).

Una de la peculiaridades de la geometría euclídea es que sus teoremas no dependen del tamaño, localización u orientación de las figuras. Si un teorema es válido para una figura dada, lo es no solo para cualquier otra figura CONGRUENTE, sino también para todas las figuras SEMEJANTES.

22. Para Aristóteles, el estudio de la geometría debería excluir el movimiento, que pertenecería más bien al ámbito de la física.

Felix Klein nos dice que los antiguos desconfiaban del movimiento ya que introducía un elemento extraño a la geometría: el concepto de TIEMPO.

“In ancient times […] it was feared that motion would bring into geometry an element foreign to it, namely the notion of time”. (Klein, 1908)

Bertrand Russell, en Principles of Mathematics (Russell, 1903) (no confundirlo con Principia Mathematica), añade otra razón,

“To speak of motion implies that our triangles are not spatial, but material. For a point of space is a position, and can no more change its position than the leopard can change his spots. The motion of a point of space is a phantom directly contradictory to the law of identity”

23. Uno puede imaginar el caso en que se permita el cambio de forma o tamaño, pero de tal manera que cuando lleguemos al lugar en que superponemos ambas figuras, éstas coincidan. De ser así, la congruencia estaría restringida a lugares concretos y las demostraciones perderían su generalidad.

La idea de que un cuerpo rígido tiene libertad de movimientos sin que se modifique su forma ni tamaño fue adoptada como axioma por Helmholtz en su artículo Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen,

“Forderung einer unbedingt freien Beweglichkeit in sich fester Figuren ohne Formänderung in allen Theilen des Raumes”. (Helmholtz, 1868)

Cuya traducción vendría a ser,

“the demand of free mobility for rigid shapes without change of form in all parts of space”. (Scholz, 2014)

Esta misma idea, aunque expresada de otra manera,

“independence of spatial figures (Körper) of their position”

fue expuesta por Riemann en su célebre Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Riemann, 1867) (el año indicado es el de esta publicación; la disertación de Riemann tuvo lugar en 1854).

Ambas ideas conducen a un mismo resultado: un espacio de curvatura constante.


REFERENCIAS

  1. A. Bogomolny, All Triangles Are Isosceles from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Fallacies/AllTrianglesIsosceles.shtml, Accessed 23 July 2016.
  2. Séquin, C. (2014). Numberphile. Retrieved 24 July, 2016, from https://www.youtube.com/watch?v=Yajonhixy4g
  3. Pasch, M. (1882). Vorlesungen über neuere Geometrie. Leipzig: Druck und Verlag von B. G. Teubner.
  4. Pasch, M. (1913). Lecciones de geometría moderna. (Alvarez de Ude, J. G., & Rey Pastor, J. trads.). Madrid: Eduardo Arias.
  5. Hilbert, D. (1899). Grundlagen der Geometrie: Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen. Herausgegeben von dem Fest-Comitee. I. Theil. Teubner.
  6. Hilbert, D. (1952). Fundamentos de la Geometría. Madrid: C. S. I. C.
  7. 23bis. Klein, F. (1939). Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint, Geometry (1908). Reprinted Dover, New York.

  8. Russell, B. (1903). The principles of mathematics. Cambridge: University Press.
  9. Helmholtz, H. (1868). Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen. Nachrichten Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften 9:193–221
  10. Scholz, E. (2013). The problem of space in the light of relativity: the views of H. Weyl and E. Cartan. arXiv preprint arXiv:1310.7334.
  11. Riemann, B. (1867). Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Habilitationsvortrag Göttingen. Göttinger Abhandlungen, 13.
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