Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (3)

VIENE DE: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (2)

Un mundo de dos dimensiones

En un intento por hacer comprensible las geometrías no euclídeas, Helmholtz recurre a una analogía interesante: seres bidimensionales que viven y se mueven sobre la superficie de algún sólido[24].

Según Helmholtz, si estos seres estuviesen dotados de sentidos similares a los nuestros llegarían a las siguientes conclusiones: el mundo tiene dos dimensiones. Un punto en movimiento describe una línea. El movimiento de una línea genera una superficie.

Sin embargo, afirmarán que el movimiento de una superficie SOLO puede dar lugar a otra superficie, de la misma forma que para nosotros el movimiento de un sólido solo puede generar otro sólido. Y esto es así porque no pueden imaginar cómo sería una tercera dimensión, algo que nosotros sí podemos comprender ya que dicha dimensión está presente en nuestra experiencia diaria[25].

Helmholtz compara esta falta de comprensión (o más exactamente de ausencia de “representación”) de la tercera dimensión a la que pueda tener una persona ciega de nacimiento a quien se le intenta explicar qué son los colores, y se fundamenta en la ausencia de una experiencia sensible[26].

Rectas, caminos más cortos y geodésicas

Es importante destacar que para estos seres bidimensionales la línea más corta que conecta dos puntos ya no es una recta (pues la superfie no tiene por qué ser perfectamente plana, sino presentar p. ej. ondulaciones, por lo que una recta que uniese dichos puntos no estaría contenida en la superficie).

El modo natural de conectar dos puntos de una superficie curva sería empleando un hilo tensado que pudiera moverse libremente sobre dicha superficie: esto es lo que técnicamente se denomina “geodésica” y sería el análogo al concepto de línea recta en la geometría euclídea[27].

Es obvio que si la superficie en la que viven nuestros seres bidimensionales es un plano, entonces su geometría coincide con la geometría euclídea (restringida al plano). Y así, dirán que solo existe una línea recta entre dos puntos; que por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una recta paralela a aquella; y que los extremos de una recta, extendida indefinidamente, nunca se encuentran.

SIGUE EN: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (4)


NOTAS

24. Hasta donde he podido indagar, esta idea es ORIGINAL de Helmholtz, si bien a la mayoría de los lectores les habrá venido a la mente la obra Flatland: A Romance of Many Dimensions (Abbott, 1884).

Recuerdo haber leído que esta imagen le vino sugerida probablemente a raíz de la observación de microorganismos cuya vida transcurre por entero en la superficie de los estanques, pero no he sido capaz de encontrar fuentes fiables que lo corroboren.

Hay que recalcar que Helmholtz no usó este mundo 2D como analogía para poder extender nuestra intuición a mundos de cuatro o más dimensiones (tal y como se presenta en la actualidad), sino como ejemplo de la relación que existe entre los axiomas de la geometría y nuestra experiencia sensible, y también como un modo de “visualizar” y razonar sobre los espacios no euclídeos tridimensionales.

Henri Poincaré propuso también un ejemplo de geometría no euclídea al imaginar una esfera en la cual existe un gradiente de calor dependiente de la distancia que dilata los cuerpos de forma instantánea. De este modo las “reglas” modifican su longitud según su posición en el espacio. Añade también a este mundo un índice de refracción variable con la distancia al centro de la esfera, por lo que la luz no sigue entonces trayectorias rectilíneas:

“Supposons, par exemple, un monde renfermé dans une grande sphère et soumis aux lois suivantes:
La température n’y est pas uniforme ; elle est maxima au centre, et elle diminue à mesure qu’on s’en éloigne, pour se réduire au zéro absolu quand on atteint la sphère où ce monde est renfermé.”
[…]
“Je supposerai enfin qu’un objet transporté d’un point à un autre, dont la température est différente, se met immédiatement en équilibre calorifique avec son nouveau milieu.”
[…]
“Je ferai encore une autre hypothèse ; je supposerai que la lumière traverse des milieux diversement réfringents et de telle sorte que l’indice de réfraction soit inversement proportionnel à R2 – r2. Il est aisé de voir que, dans ces conditions, les rayons lumineux ne seraient pas rectilignes, mais circulaires.” (Poincaré, 1902)

25. Es cierto que aunque el mundo que se nos aparece es tridimensional podemos mejorar nuestro conocimiento sobre una hipotética cuarta dimensión, bien sea operando algebraicamente o bien visualizando distintas proyecciones de un objeto cuadrimensional en un plano o en el espacio (Tesseract, 2016).

Aún así seguimos sin ser capaces de “imaginar” cómo “desplazarnos” siguiendo una dirección perpendicular a las tres dimensiones que conocemos.

26. El ejemplo del ciego y los colores no es casual. Helmholtz desarrolló la teoría tricromática de percepción del color propuesta por Thomas Young (Young, 1802).

Helmholtz expuso sus teorías de la percepción del color y del movimiento, basadas en multitud de estudios y experimentos, en su obra de varios volúmenes Handbuch der Physiologischen Optik (Helmholtz, 1802)

27. Más formalmente, la línea geodésica se define como la línea de longitud MÍNIMA que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en dicha superficie.

Otro modo de entender una línea geodésica es imaginar que tenemos una banda elástica y queremos unir dos puntos de la superficie, pero ejerciendo la mínima tensión en esta banda elástica, es decir, estirándola lo menos posible.

La definición que nos ofrece Helmholtz es más laxa ya que NO está restringida a que la longitud sea mínima y basta con que sea la línea “más recta posible” entre dos puntos.


REFERENCIAS

  1. Abbott, E. A. (1884). Flatland, a Romance of Many Dimensions. London: Seeley & Co.
  2. Poincaré, H. (1902). La Science et l’hypothese. Paris: Flammarion.
  3. Tesseract. (2016, July 26). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 18:20, July 26, 2016, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tesseract&oldid=731655753
  4. Young, T. (1802). Bakerian Lecture: On the Theory of Light and Colours. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 92:12-48. doi: 10.1098/rstl. 1802.0004
  5. Helmholtz, H. (1867). Handbuch der physiologischen Optik.Voss.
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