Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (4)

VIENE DE: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (3)

Superficie esférica y geometría no-euclídea

Helmholtz nos propone ahora imaginar que estos seres se encuentran sobre la superficie de una esfera.

Las geodésicas (i. e. las “rectas”) serán en este caso arcos de circunferencias máximas[28].

Dados dos puntos en la superficie de la esfera, en GENERAL, habrá dos geodésicas que los conecten, de las cuales una será la distancia más corta; la otra geodésica discurre por el lado contrario de la esfera (ya saben: para llegar a las Indias hay dos caminos).

Para el caso PARTICULAR en que los puntos estén sobre un mismo diámetro de la esfera, habrá infinitas geodésicas de igual longitud conectando ambos.

Dicho de otro modo: los seres de este mundo dirán que la distancia más corta entre dos puntos es una geodésica (“recta”), PERO afirmarán que pueden existir INFINITAS “rectas” de igual longitud uniendo estos dos puntos. Lo cual NO coincide con uno de los axiomas de la geometría euclídea [29].

En este mundo tampoco existen las “rectas” paralelas, ya que todas las geodésicas, si se extienden lo suficiente, terminan por cruzarse en DOS puntos.

Otrosí, la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es siempre superior a dos rectos (mayor cuanto mayor la superficie del triángulo).

Esto último significa que no existe el concepto de SEMEJANZA de triángulos porque dos triángulos de igual forma, pero distinto tamaño, diferirán en el valor de sus ángulos.

Finalmente, a estos seres el espacio se les aparecerá como ILIMITADO, pero FINITO [30].

Resumiendo: los habitantes de dicho mundo habrán elaborado un sistema de axiomas geométrico distinto del que nos presenta Euclides, lo cual prueba, según Helmholtz, que los axiomas de la geometría varían de acuerdo con el tipo de espacio en el que nos hallamos inmersos.

Congruencia y movimiento de figuras en la superficie de un huevo

Otro ejemplo interesante que reseña Helmholtz es la superficie de un cuerpo con forma de huevo.

En esta superficie uno puede construir un triángulo uniendo tres puntos no alineados mediante líneas geodésicas.

Si ahora trazamos otro triángulo cuyos lados tengan la misma longitud que el anterior, en general, los dos triángulos NO serán CONGRUENTES, puesto que diferirán en sus ángulos.

Un modo de expresar esta situación es interpretar que el movimiento del triángulo a través de esta superficie ovoide conlleva un cambio en su forma.

SIGUE EN: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (5)


NOTAS

28. La circunferencia máxima es la que resulta de seccionar la esfera mediante un plano que pase por su centro.

29. Hasta el siglo XIX el único postulado de Euclides motivo de controversia fue el de las paralelas.

Sin embargo, con la aparición de las geometrías no euclídeas, otros de sus axiomas dejaron de ser evidentes.

El desarrollo de geometrías basadas en un conjunto de axiomas distintos de los descritos en los Elementos influyó enormemente en el incremento del rigor y formalismo de TODAS las ramas de las matemáticas.

Además, esta revolución geométrica supuso un durísimo golpe a la intepretación de los enunciados matemáticos como “verdades” y a su conexión con el “mundo real”.

Las matemáticas no serían más que un conjunto de símbolos y de reglas para manipularlos. Un JUEGO y nada más que un juego.

“Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless marks on paper.”

Esta cita suele atribuirse a David Hilbert (Rose, 1988), si bien no está recogida como tal en ninguno de sus escritos (la versión alemana de la cita, claro).

Quizás debido a sus célebres Fundamentos de la Geometría y a las consecuencias que tuvo la búsqueda de una respuesta a su “segundo problema” (Hilbert, 1900) se suele identificar a Hilbert como el paradigma del matemático formalista, una visión que no es del todo exacta y que conviene matizar.

Lo cierto es que él mismo rechazaba esta etiqueta,

“Über den Vorwurf des Formalismus habe ich mich in früheren Abhandlungen augesprochen.” (Hilbert, 1931)

y aunque reconocía la importancia y la necesidad de disponer de un sistema axiomático formal, ello NO significa que pensara que las matemáticas se IDENTIFICAN únicamente con el estudio de los sistemas formales.

“In contrast to the earlier efforts of Frege and Dedekind, we are convinced that certain intuitive concepts and insights are necessary conditions of scientific knowledge, and logic alone is not sufficient.” (Hilbert, 1925)*.

* La versión alemana se publicó en los Mathematische Annalen (Hilbert, 1926), pero no he podido consultarla para indicar la cita en alemán.

30. Riemann señaló muy acertadamente que en la geometría de Euclides una segmento de recta puede extenderse indefinidamente a partir de sus exteremos (i. e. “hasta el infinito”), pero en el caso de la superficie de la esfera, los extremos volverán a encontrarse (i. e. longitud finita).


REFERENCIAS

  1. Rose, N.; De Pillis, J. (1988) Mathematical Maxims and Minims. Raleigh N.C.: Rome Press.
  2. Hilbert, D. (1900). Mathematische Probleme – Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. Heft 3, 1900, S. 253–297.
  3. Hilbert, D. (1931). Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie. Mathematische Annalen 104:485-94.
  4. Hilbert, D. (1925). On the Infinite, in Benacerraf & Putnam 1983, 183–201.
  5. Hilbert, D. (1926). Über das unendliche. Mathematische Annalen, 95(1), 161-190.
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