Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (5)

VIENE DE: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (4)

Curvatura gaussiana

Así pues, NO todas las superficies permiten el movimiento de las figuras contenidas en ellas sin que éstas varíen de forma ni de tamaño. De hecho, esta característica es una propiedad muy especial que NO posee cualquier superficie[31].

La propiedad característica de las superficies que determina si se puede mover una figura sin que se deforme fue identificada por Gauss en su célebre tratado Disquisitiones generales circa superficies curvas[32].

A continuación, Helmholt nos dice que si llamamos “medida de curvatura” (mensura curvaturae) al recíproco del producto del mayor y menor radio de curvatura, entonces no existirá deformación si esta “medida de curvatura” es la misma para todos los puntos de la superficie[33].

Ocurre además que esta “medida de curvatura” no cambia si curvamos la superficie de manera “suave”, es decir, sin estirarla ni contraerla[34]. Por lo que la “medida de curvatura” de una hoja de papel es la misma que la de un cilindro formado con dicha hoja.

SIGUE EN: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (6)


NOTAS

31. Claro que, ¿cómo podemos comprobar que ha habido deformación si los instrumentos de medición (i. e. las reglas) también se deforman en la misma medida?

32. La investigación llevada a cabo por Gauss en sus Disquisitiones (Gauss, 1828) estaba relacionada con su interés en el campo de la geodesia.

Así, a fecha de veintiuno de noviembre de 1825, Gauss escribe una carta a Schumacher en la que podemos leer,

“Ich habe seit einiger Zeit angefangen, einen Theil der allgemeinen Untersuchungen über die krummen Flächen wieder vorzunehmen, die die Grundlage meines projectirten Werks über Höhere Geodäsie werden sollen.” (Gauss, 1900)

Cuya traducción viene a decir que Gauss ha retomado sus investigaciones sobre las superficies curvas y que estas investigaciones sustentarán su ensayo sobre geodésica avanzada.

Gauss realizó diversos trabajos de medición, entre ellos el del famoso triángulo BHI (Brocken, Hohehagen, Inselsberg), medición que algunos han querido relacionar con un intento de comprobación experimental por parte de Gauss de si la geometría euclídea es la “verdadera” (esto es, si el espacio físico es o no euclídeo).

Se suele considerar que la elaboración de mapas y la geodesia es el origen de la geometría diferencial.

33. Al hablar de curvatura nos referimos a la denominada “curvatura gaussiana” (hay más definiciones de curvatura).

La curvatura gaussiana es en realidad el producto de dos curvaturas, las “curvaturas principales”, que se corresponden con las curvaturas máxima y mínima.

Las curvaturas máxima y mínima se calculan intersecando todos los planos normales a la superficie en dicho punto. Esto da lugar a un conjunto de curvas. Si calculamos ahora la “curvatura” de cada una de estas curvas en el punto en cuestión y nos quedamos con las de mayor y menor valor obtenemos las “curvaturas principales”; su producto es lo que se denomina “curvatura gaussiana” (Helmholtz habla del inverso de los RADIOS de curvatura).

Para los más curiosos: la “curvatura” de una curva en un punto se define como la “curvatura” de la circunferencia osculatriz en dicho punto.

Imaginen dos puntos “infinitesimalmente” cercanos al punto del cual queremos calcular su curvatura: estos tres puntos definen la circunferencia oscilatriz y el inverso de su radio es la “curvatura” de la curva en dicho punto.

Aclarar que se toma como valor de curvatura el inverso del radio de la circunferencia porque entendemos que una línea recta tiene curvatura cero y la línea recta se puede asimilar a una circunferencia de radio infinito.

34. Se refiere Helmholtz al theorema egregium,

“Formula itaque art. praec. sponte perducit ad egregium
Theorema. Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet.” (Disquisitiones, art. 12, theorema “egregium”).

Cuya traducción (en inglés) sería,

“Thus the formula of the preceding article leads of itself to the remarkable
Theorem. If a curved surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in each point remains unchanged.” (Gauss, 1902)

Tal y como explica Helmholtz, un cilindro y un cono pueden desarrollarse en un plano, por lo que la “medida de curvatura”, o curvatura gaussiana en términos actuales, es la misma para todos ellos (exceptuando los bordes, claro).

También, al ser la “medida de curvatura” de una esfera distinta de la de un plano, no es posible desarrollar un mapa de la Tierra, y todos los mapas están deformados de una u otra manera.

En cambio las rotativas de un periódico son cilindros porque al tener la misma “medida de curvatura” permiten imprimir el texto en una hoja plana.


REFERENCIAS

  1. Gauss, C. F. (1828). Werke, Bd. IV., p. 215, first published in Commentationes Soc. Reg. Scientt. Gottingensis recentiores, vol. vi., 1828.
  2. Gauss, C. F. (1900). Carl Friedrich Gauss Werke, Band 8, Königl. Gesellschaft Wiss. Gottingen, Teubner, Leipzig
  3. Gauss, C. F. (1902). Hiltebeitel, Adam Miller; Morehead, James Caddall, eds. General Investigations of Curved Surfaces [General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825]. Princeton University Library.
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