Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (6)

VIENE DE: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (5)

La pseudoesfera

Helmholtz nos habla ahora de la pseudoesfera, una superficie curvada cuya geometría sería la contrapartida de la esfera[32], descrita e investigada por Eugenio Beltrami. En esta superficie, al igual que en la esfera, el axioma de las paralelas no se cumple[33].

Se trata de una superficie con forma de silla de montar de la que solo podemos representar en nuestro espacio trozos o tiras, pero que ha de ser imaginada como una superficie que se extiende infinitamente en todas las direcciones.

Al mover una figura sobre esta superficie se modifica su flexión, pero no su tamaño, tal y como ocurre con una hoja de papel enrollada sobre un cono (la hoja cubre perfectamente la superficie del cono, pero está más curvada cuanto más cerca del vértice).

Helmholtz explica que al igual que el plano o la esfera, la superficie de la pseudoesfera tiene medida de curvatura constante, lo cual significa que podemos recortar un trozo cualquiera de esta superficie y aplicarlo en cualquier otro lugar de la misma, por lo que las figuras dibujadas en la pseudoesfera pueden desplazarse a cualquier lugar de ella manteniendo la congruencia.

La “medida de curvatura” es positiva para la esfera, nula para el plano y negativa para la pseudoesfera (ya que las dos curvaturas principales, máxima y mínima, tienen sus concavidades opuestas).

A continuación Helmholtz nos presenta algunos ejemplos a fin de que podamos representarnos visualmente esta superficie.

Por ejemplo, la cara interior de un TORO[34] serviría para ilustrar el aspecto que tendría UNA TIRA de la pseudoesfera.

Otro ejemplo: la MITAD de una superficie pseudoesférica puede ser enrollada sobre una copa de champán, si aceptamos que la parte que se estrecha hacia la base de la copa se prolonga indefinidamente[35].

A diferencia de la superficie de una esfera, en la cual las líneas “rectas” (geodésicas) retornan al punto de partida, en la pseudoesfera únicamente se puede trazar UNA geodésica entre dos puntos dados.

También, el axioma de las paralelas NO es válido: dada una línea recta (geodésica), por un punto exterior a esta línea se pueden trazar INFINITAS geodésicas (“rectas”) que NO se cruzan con dicha línea. Estas infinitas geodésicas están limitadas a su vez por dos “rectas” (geodésicas): la “primera” recta dada y la recta “final” que corta a aquella en dos puntos extremos situados a distancia infinita.

Helmholtz nos recuerda que en 1829 Nikolai Ivanovich Lobachevsky desarrolló una geometría no euclídea en la que el axioma de las paralelas no se cumple[36] y que Beltrami demostró que dicha geometría coincide con la geometría de su pseudoesfera[37].

Así, tanto en el plano como en la esfera y en la pseudoesfera, las figuras pueden desplazarse sin sufrir ningún cambio en sus dimensiones.

El axioma de que solo hay una línea más corta entre dos puntos cualesquiera distingue al plano de la superficie de la esfera; el axioma de las paralelas distingue al plano de una superficie pseudoesférica.

Helmholtz afirma que estos tres axiomas (es decir, desplazamiento sin cambio de tamaño, una única línea más corta entre dos puntos y una única paralela a una recta dada) son las condiciones necesarias y suficientes para especificar inequívocamente el plano euclídeo y lo que lo distingue del resto de superficies.

También nos señala que las diferencias existentes entre la geometría planar y la esférica eran conocidas desde mucho tiempo atrás, pero que la significación del axioma de las paralelas no se comprendió en profundidad hasta que Gauss desarrolló sus Disquisitiones generales circa superficies curvas.

SIGUE EN: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos(7)


NOTAS

32. Ya que su curvatura gaussiana sería la misma que la de la esfera, pero con valor negativo

33. Antes de tener conocimiento de la pseudoesfera, Helmholtz había investigado sobre qué geometrías (la de Euclides, la de Lobachesvky o la de Riemann) son posibles y bajo qué axiomas, llegando a la conclusión de que SOLO la geometría euclídea podía dar cuenta de las mediciones físicas.

Sin embargo, el 24 abril de 1869, Beltrami escribió una carta a Helmholtz [Koenigsberger (1903), Vol. 2, p. 153.] en la que le indicaba que la geometría de Lobachevsky TAMBIÉN era adecuada, tal y como el había podido comprobar en sus investigaciones sobre geodésicas en superficies de curvatura negativa.

Helmholtz acepta esta posibilidad [ver Königsberger 1906, 263] e incluyó la geometría de la pseudoesfera en el artículo que estamos comentando [Ref. http://plato.stanford.edu/entries/hermann-helmholtz/%5D.

Koenigsberger, L. (1903). Hermann von Helmholtz (3 vols). Braunschweig: Vieweg.
https://archive.org/details/hermannvonhelmh02koengoog => BUSCAR: April 1869 von Bologna aus an Helmholtz gerichteten Briefe

34. Nos referimos a un toro matemático, no al cuadrúpedo.

35. Si no son capaces de imaginar lo que nos está explicando Helmholtz, quizás este video (Segerman, 2014) pueda servirles de ayuda.

36. Helmholtz se refiere a los Prinzipien der Geometrie (Lobachevsky, 1829a)

Lobachevsky presentó sus ideas para desarrollar una geometría en la cual el quinto postulado no se cumpliese, durante una sesión celebrada en el departamento de física y matemáticas de la universidad de Kazan, en febrero del año 1826.

Más tarde escribió un artículo sobre el mismo asunto titulado A concise outline of the foundations of geometry que no fue aceptado por los revisores (no se conserva el texto de este escrito).

Las ideas contenidas en el escrito anterior fueron incorporadas en lo que constituye la primera publicación (mantuvo el mismo título) sobre geometría hiperbólica, en el año 1829. El artículo fue publicado por una editora local de la Universidad de Kazan (Lobachevsky, 1829b), pero la Academia de Ciencias de San Peterburgo rechazó publicarlo.

37. En concreto, en su artículo Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea (Beltrami, 1868).

Ojo, es cierto que en dicho ensayo Beltrami ofrece una realización concreta de la geometría de Lobachevsky (la pseudoesfera), pero el objetivo del artículo no era demostrar la consistencia de las geometrías no euclídeas, ni tampoco probar la independencia del quinto postulado. El propósito del artículo era señalar que Lobachevsky (y Bolyai) no habían introducido nuevos conceptos, sino que en el fondo estaban describiendo la teoría de las geodésicas en las superficies de curvatura (constante) negativa.

“abbiamo tentato di trovare un substrato reale a quella dottrina, prima di ammetter e per essa la necessità di un nuovo ordine di enti e di concetti.”

En inglés (JOC/EFR, 2000),

“We have tried to find a real foundation to this doctrine, instead of having to admit for it the necessity of a new order of entities and concepts.”

Dicho esto, la pseudoesfera de Beltrami tuvo un impacto importante ya que si la geometría de Lobachevsky fuese INCONSISTENTE, entonces TAMBIÉN lo sería la propia geometría euclídea, porque la pseudoesfera es una superficie que está INCLUIDA en el espacio euclídeo.

Como los matemáticos estaban convencidos de la consistencia de la geometría euclídea, entonces tuvieron que admitir que las geometrías no euclideanas eran IGUAL de válidas (o al menos tan válidas como aquella).


REFERENCIAS

  1. Segerman, H., (2014). Pseudosphere. Retrieved 10 September, 2016, from https://www.youtube.com/watch?v=Oqn0AgDHh8w
  2. Lobatchewsky, N. I., (1829a). Prinzipien der Geometrie. Kazan Messenger.
  3. Lobachevsky, N. I. (1829b). A Concise Outline of the Foundations of Geometry, Kazan Messenger.
  4. Beltrami, E., (1868). Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea. Giornale di Mathematiche. VI: 285–315.
  5. J. J. O’Connor and E. F. Robertson, (2000, July). Eugenio Beltrami. In School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Retrieved 19:46, September 10, 2016, from http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Beltrami.html
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