Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (7)

VIENE DE: Helmholtz: El Origen y Significado de los Axiomas Geométricos (6)

Geometría analítica

Volviendo al ejemplo de los seres bidimensionales, Helmholtz considera que es posible representarnos el modo en que dichos seres percibirían la geometría de su espacio: basta con restringir nuestra propia percepción a un ámbito más limitado.

Y es aquí donde nos damos cuenta de que tratar de analizar la geometría basándonos en nuestras percepciones tiene un problema: es difícil imaginar una situación que no podemos comparar con nada similar a lo que hayamos experimentado. Es lo que le ocurre a los seres bidimensionales al tratar de imaginar la tercera dimensión.

Por fortuna, existe otro modo con el que poder investigar las propiedades de un espacio geométrico, y se basa en que las relaciones espaciales pueden MEDIRSE, es decir, pueden asociarse a CANTIDADES.

Así pues, los problemas geométricos se reducen a encontrar unas magnitudes desconocidas a partir de otras conocidas mediante un procedimiento de cálculo [38].

Esto es lo sirve de fundamento a la geometría analítica, en la que un espacio (de cualquier tipo) se define y se analiza por medio de cantidades.

Helmholtz clarifica esta idea mediante algunos ejemplos.

Los axiomas se pueden redefinir haciendo referencia a magnitudes.

La línea recta se define como la MÁS CORTA entre dos puntos, lo cual es una MEDIDA (esto es, una cantidad, un valor).

Otro ejemplo, el axioma de las paralelas: si dos líneas rectas en un plano no se cruzan, entonces los ángulos alternos que crea una tercera recta que las interseca, son iguales.

O más claro: la SUMA de los ángulos de cualquier triángulo es igual a DOS ángulos RECTOS (i.e. postulado de las paralelas expresado como suma de CANTIDADES).

Ya solo resta completar el cuadro fijando la posición de un punto como un conjunto de VALORES relativos a un sistema de coordenadas que consideraremos fijo.

Todo lo anterior nos permite estudiar las propiedades del espacio mediante el cálculo de magnitudes sin necesidad de tener que representarnos ninguna figura ni visualizar el desplazamiento o la rotación de los objetos [39].

CONTINUARÁ…


NOTAS

38. Simplificando bastante, se puede considerar que la geometría (analítica, algebraica, diferencial…) emplea el concepto de DISTANCIA, mientras que la topología (bla, bla, bla…) emplea el concepto de CERCANÍA.

39. La geometría analítica estudia el espacio euclídeo (o los espacios de curvatura nula) a través de las coordenadas cartesianas y una métrica. Es la que se nos enseñá suscintamente en el cole.

La geometría diferencial estudia los espacios (en realidad, las variedades), tanto planos como curvos, empleando principalmente el cálculo diferencial e integral.

La geometría algebraica estudia el conjunto de soluciones de sistemas de ecuaciones algebraicas con variable múltiples –una ecuación algebraica es un polinomio igualado a cero– lo cual tiene una interpretación geométrica.

Los interesados en profundizar en la historia de la geometría ANALÍTICA pueden consultar “History of Analytic Geometry”, de Carl Benjamin Boyer (Boyer, 1956).

Un apunte: al hablar de geometría analítica enseguida se piensa en coordenadas cartesianas y de ahí ¡pam! se salta a Descartes, pero hay que realizar una serie de matizaciones.

Antes de Descartes, los griegos ya trataban cuestiones geométricas a través de “ratios” (p. ej. la relación entre el área de un cuadrado y el de un círculo cuando la base del cuadrado es el diámetro del círculo). Otro ejemplo: la medidas astronómicas de los babilonios suponen un sistema de “coordenadas”.

Es decir, antes de Descartes ya se realizaban operaciones “algebraicas” con objetos geométricos y existían sistemas para “posicionar” un objeto en el espacio.

Por otro lado, la geometría analítica tuvo DOS padres, Fermat y Descartes, y ambos se basaron en los trabajos de Viète.

Por último, y esto es importante, ninguno de ellos empleó un sistema de COORDENADAS, sino de ORDENADAS.

REFERENCIAS

  1. Boyer, Carl B. (1956). “History of Analytic Geometry”, The Scripta Mathematica Studies, Nos. 6 and 7. New York: Scripta Mathematica.
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